Tính Diện Tích Hình Phẳng Giới Hạn Bởi 3 Đường

Bài viết hướng dẫn phương pháp ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cha mặt đường cong, đó là dạng tân oán hay gặp gỡ trong chương trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên ổn hàm – Tích phân cùng Ứng dụng.

Bạn đang xem: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

I. PHƯƠNG PHÁP. GIẢI TOÁNCách 1:+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp thứ thị.+ Chia diện tích hình phẳng thành tổng của các diện tích S hình phẳng giới hạn vì nhì thiết bị thị.Cách 2:+ Vẽ những vật dụng thị trên cùng một hệ trục tọa độ.+ Từ đồ vật thị phân tách diện tích S hình phẳng thành tổng của các diện tích S hình phẳng giới hạn do nhì đồ dùng thị.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAlấy ví dụ 1: gọi $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật dụng thị tía hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ (phần gạch ốp chéo vào hình vẽ bên).

*

Khẳng định làm sao sau đây đúng?A. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$B. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$C. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$D. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$

Lời giải:Từ thiết bị thị ta có:

*

$S = S_1 + S_2$ $ = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$Chọn lời giải C.

lấy một ví dụ 2: Diện tích hình phẳng giới hạn do các đường $y = – x^2 + 3x$, $y = x + 1$, $y = – x + 4$ bằng:A. $frac112.$B. $frac16.$C. $frac14.$D. $frac13.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$ – x^2 + 3x = x + 1$ $ Leftrightarrow – x^2 + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$$ – x^2 + 3x = – x + 4$ $ Leftrightarrow – x^2 + 4x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$x + 1 = – x + 4$ $ Leftrightarrow 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_1^frac32 – x^2 + 3x – x – 1 ight $ $ + int_frac32^2 – x^2 + 3x + x – 4 ight $ $ = int_1^frac32 (x – 1)^2 dx$ $ + int_frac32^2 (x – 2)^2 dx.$$ = left. frac(x – 1)^33 ight|_1^frac32$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac32^2$ $ = frac112.$Chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì những con đường $y = 2x^2$, $y = fracx^24$, $y = frac54x$ bằng:A. $frac632 – 54ln 2.$B. $54ln 2.$C. $ – frac632 + 54ln 2.$D. $frac634.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$2x^2 = fracx^24 Leftrightarrow x = 0.$$2x^2 = frac54x Leftrightarrow x = 3.$$fracx^24 = frac54x Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 dx $ $ + int_3^6 frac54x – fracx^24 ight $ $ = left| int_0^3 left( 2x^2 – fracx^24 ight)dx ight|$ $ + left| int_3^6 left( frac54x – fracx^24 ight)dx ight|.$$ = left| left. frac7x^312 ight ight| + left| _3^6 ight|$ $ = 54ln 2.$Chọn giải đáp B.

Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn do các mặt đường $y = e^x$, $y = 3$, $y = 1 – 2x$ bằng:A. $5 – 3ln 3.$B. $3ln 3 – 5.$C. $3ln 3 – 1.$D. $S = 3ln 3 + 2e – 5.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$e^x = 3 Leftrightarrow x = ln 3.$$3 = 1 – 2x Leftrightarrow x = – 1.$$e^x = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow e^x + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ (do $f(x) = e^x + 2x – 1$ đồng thay đổi trên $R$ cùng $x=0$ là một trong nghiệm của phương trình $e^x + 2x – 1 = 0$).Diện tích:$S = int_ – 1^0 3 – (1 – 2x) ight $ $ + int_0^ln 3 3 – e^x ight .$$ = left| int_ – 1^0 (2 + 2x)dx ight|$ $ + left| int_0^ln 3 left( 3 – e^x ight)dx ight|.$$ = 3ln 3 – 1.$Chọn giải đáp C.

lấy ví dụ như 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi vì các con đường $y = sqrt x $, $y = 2 – x$, $y = 0$ bằng:A. $frac43.$B. $frac76.$C. $frac16 + frac4sqrt 2 3.$D. $frac133.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt x = 2 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 2\x = (2 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 1.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^1 | sqrt x – (2 – x)|dx$ $ + int_1^2 | 2 – x|dx$ $ = left| int_0^1 (sqrt x – 2 + x) dx ight|$ $ + left| int_1^2 (2 – x)dx ight|.$$ = left| left. left( frac2xsqrt x 3 – 2x + fracx^22 ight) ight ight|$ $ + left| _1^2 ight|$ $ = frac43.$Chọn đáp án A.

Xem thêm: Tháng Ba Mùa Con Ong Đi Kiếm Mật, Tháng Ba Tây Nguyên

lấy ví dụ như 6: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do parabol $(P):y = x^2 – x – 2$ cùng những tiếp con đường của $(P)$ trên các giao điểm của $(P)$ cùng với trục hoành bằng:A. $frac634.$B. $frac638.$C. $frac1178.$D. $frac94.$

Lời giải:Viết những tiếp tuyến:$y = x^2 – x – 2$ $ Rightarrow y’ = 2x – 1.$Pmùi hương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ cùng với $Ox:$$x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2 Rightarrow y"(2) = 3endarray ight..$Tại $M( – 1;0)$, $y"( – 1) = – 3$, phương thơm trình tiếp tuyến là: $y=-3x-3.$Tại $N(2;0)$, $y"(2) = 3$, phương trình tiếp tuyến là: $y = 3x – 6.$Tìm các hoành độ giao điểm:$x^2 – x – 2 = – 3x – 3$ $ Leftrightarrow x = – 1.$$x^2 – x – 2 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = 2.$$ – 3x – 3 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = frac12.$Diện tích:$S = int_ – 1^frac12 dx $ $ + int_frac12^2 dx .$$ = int_ – 1^frac12 (x + 1)^2 dx$ $ + int_frac12^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x + 1)^33 ight|_ – 1^frac12$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac12^2$ $ = frac94.$Chọn giải đáp D.

lấy một ví dụ 7: Hình phẳng số lượng giới hạn vị thứ thị hàm số $y = 3x – x^2$ với $y = left{ eginarray*20l – fracx2& mkhi::x le 2\x – 3& mkhi::x > 2endarray ight.$ bao gồm diện tích S là:A. $S = frac23.$B. $S = frac83.$C. $S = 4.$D. $S = 6.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:

*

$3x – x^2 = – fracx2$ $(x le 2)$ $ Leftrightarrow x = 0.$$3x – x^2 = x – 3$ $(x > 2)$ $ Leftrightarrow x = 3.$$ – fracx2 = x – 3 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^2 left( 3x – x^2 + fracx2 ight)dx $ $ + int_2^3 left( 3x – x^2 – x + 3 ight)dx = 6.$Chọn lời giải D.

lấy một ví dụ 8: Call $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn vày các đường $y = sqrt 3x $, $y = 6 – x$ với trục $Ox.$ Khẳng định nào sau đó là đúng?A. $S = int_0^6 (sqrt 3x – 6 + x)dx .$B. $S = int_0^6 sqrt 3x dx + int_0^6 (6 – x)dx .$C. $S = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$D. $S = int_0^6 (6 – x – sqrt 3x )dx .$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt 3x = 6 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l6 – x ge 0\3x = (6 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$$sqrt 3x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$$6 – x = 0 Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 | sqrt 3x – 0|dx$ $ + int_3^6 | 6 – x – 0|dx$ $ = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$Chọn câu trả lời C.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì nhánh đường cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, đường thẳng $y = 3 – 2x$ và trục hoành bằng:A. $frac512.$B. $frac2312.$C. $frac78.$D. $frac712.$

Câu 2: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vị các đường $y = sqrt 2x $, $y = 4 – x$ cùng trục $Ox$ bằng:A. $frac173.$B. $frac163.$C. $frac143.$D. $frac133.$

Câu 3: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do những con đường $y = x^3$, $y = 2 – x$ và $y = 0$ bằng:A. $frac34.$B. $frac114.$C. $frac72.$D. $frac52.$

Câu 4: hotline $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn vị thứ thị các hàm số $y = x^2$, $y = fracx^227$, $y = frac27x.$ Khẳng định nào sau đấy là đúng?A. $S = int_0^3 x^2 – fracx^227 ight $ $ + int_3^9 dx .$B. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 dx .$C. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 left .$D. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 dx .$

Câu 5: Cho diện tích hình phẳng giới hạn vị nhị nhánh đường cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, $y = 4x^2$ $(x ge 0)$ với mặt đường trực tiếp $y=4$ bằng?A. $frac83.$B. $frac143.$C. $7.$D. $frac173.$

2. BẢNG ĐÁPhường ÁN

Câu12345
Đáp ánDCAAA

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Pmùi hương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 3 – 2x$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$3 – 2x = 0 Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_0^1 left $ $ + int_1^frac32 | 3 – 2x – 0|dx$ $ = frac712.$Chọn đáp án D.

Câu 2: Phương thơm trình hoành độ giao điểm:$sqrt 2x = 4 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 4\2x = (4 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 2.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$4 – x = 0 Leftrightarrow x = 4.$Diện tích:$S = int_0^2 | sqrt 2x – 0|dx$ $ + int_2^4 | 4 – x – 0|dx$ $ = frac143.$Chọn giải đáp C.

Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^3 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$$x^3 = 2 – x Leftrightarrow x = 1.$Diện tích:$S = int_0^1 left $ $ + int_1^2 | 2 – x|dx = frac34.$Chọn giải đáp A.

Câu 4: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = fracx^227 Leftrightarrow x = 0.$$fracx^227 = frac27x Leftrightarrow x = 9.$$frac27x = x^2 Leftrightarrow x = 3.$Diện tích: $S = int_0^3 x^2 – fracx^227 ight $ $ + int_3^9 frac27x – fracx^227 ight .$Chọn lời giải A.

Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 2.$$4x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 4x^2 Leftrightarrow x = 0.$Diện tích: $S = int_0^1 left $ $ + int_1^2 dx = frac83.$Chọn đáp án A.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *